Отказ от ответственности: вам может потребоваться немного узнать о матричной математике, чтобы полностью понять все написанное, но в противном случае вы должны иметь возможность следовать
Когда я говорю слово «выпуклый», на ум приходят воспоминания из школьных уроков физики с выпуклыми и вогнутыми зеркалами. Даже если вы этого не помните, вот наглядное изображение (слева), которое поможет пробудить память.
Теперь, скорее говоря о том, как работает физика для выпуклого зеркала, я буду говорить о том, что такое выпуклость и о свойствах, которые определяют выпуклое множество. Мы попытаемся показать это, построив сцену. Кроме того, имейте в виду, что вогнутый набор - это просто негатив выпуклого набора, поэтому я буду просто использовать термин выпуклый.
Сначала я создал эту сцену Desmos (‹- это ссылка) и позже понял, что могу написать по ней статью.
1). Давайте выложим сцену
Эта сцена будет жить в 2-м пространстве, но эти концепции могут применяться к любому n-му измерению. Это означает, что любая точка, которую мы выбираем в этом пространстве, которое мы называем множеством ℝ², будет выглядеть в форме (x, y). Если бы мы были в ℝ³, точка выглядела бы примерно как (x, y, z).
Мы собираемся построить график функции f (x) ›x² и g (x)‹ -x² + 1. Это наша экспоненциальная функция и еще одна, но умноженная на минус (перевернутая) и переведенная как (сдвинуто), но ради этого разговора мы будем рассматривать не сами функции, а набор, который они будут ограничивать (то есть пустое пространство) их по.
Мы будем называть белое пространство множеством W (для белого), поскольку мы видим, что W находится на плоскости ℝ², мы можем сказать, что W является подмножеством ℝ².
Теперь давайте выберем две точки, назовем их a и b. a и b являются элементами W, что означает, что они будут внутри белого пространства.
Теперь, когда у нас есть эти две точки внутри этого белого пространства, мы можем провести линию между ними. (Как на изображении)
Теперь, когда мы настроили сцену, мы можем перейти к фактическому определению того, что такое выпуклое множество.
2). Определение выпуклого
Выберите любые две точки a и b так, чтобы они были элементами W, тогда любая точка между a и b (т. Е. Линия) также содержится в множестве W. Мы можем кратко показать это, сказав любая точка
𝜃a + (1-𝜃) b 𝜀 W для 0 ≤ 𝜃 ≤ 1.
Вы можете видеть, как это выглядит слева, шарик на линии является этой точкой.
Когда 𝜃 = 1, мы видим, что мяч находится в точке a.
А когда 𝜃 = 0, мяч сидит в точке b.
Вот и все, это все, что требуется для того, чтобы набор был выпуклым, но это понятие выпуклости имеет несколько подполей, посвященных ему, таких как Выпуклый анализ и Выпуклая оптимизация, чтобы назвать два.
Теперь я уверен, что вы можете представить себе, как это выглядит в трехмерном пространстве или на съемочной площадке ³. Но эта идея также применима к ℝ⁴ и не только.
3). Невыпуклый набор
Прежде чем я уйду, было бы неправильно не показывать невыпуклый набор, поскольку это помогает увидеть, когда набор также не является выпуклым.
давайте посмотрим на функцию
g (x) ‹-x² + 1 и
h (x)› 5x⁴ + x³ -x²-.5x + .5
Мы можем видеть, если мы разместим точки внизу справа и внизу слева, линия пройдет через черное пространство, что сделает набор в этом белом пространстве не выпуклым.
Заключительные комментарии
Надеюсь, вам понравилось узнавать, что такое выпуклый набор, если вы хотите узнать больше о таких концепциях, ознакомьтесь с Книгой Стивена Бойда« Выпуклая оптимизация , где я сам научился этим вещам. Также, если вы хотите связаться со мной, зайдите на www.kevinpallikunnel.com и отправьте мне электронное письмо, с которым я бы хотел поболтать.
