Один из наиболее важных терминов, который вы увидите при реализации моделей машинного обучения, — это вогнутые, выпуклые функции, а также максимумы и минимумы функции. Давайте посмотрим, что это такое.
Постройте график функции f(x) и посмотрите его график. Если функция вогнутая, то ее график будет иметь форму перевернутой чаши, а если она выпуклая, то ее форма будет иметь форму чаши. Итак, следующий вопрос: как построить график очень сложной функции. пример: - g(x) = x² + x*sin(x) + exp(-x), можете ли вы нарисовать эту функцию на бумаге? Наверное, нет, без помощи компьютеров их не построить. Так как же определить, является ли g(x) вогнутым или выпуклым?
Давайте сначала построим график g (x), чтобы определить, является ли он вогнутым или выпуклым.
Этот график помогает нам найти, что g(x) является выпуклой функцией. Можно ли решить эту задачу без построения графика? Давайте решим его математически, а позже проверим наш ответ с помощью этого графика.
Шаги, чтобы определить, является ли функция вогнутой или выпуклой:
- Дифференцировать функцию дважды.
- если второй вывод функции положителен, то мы можем сказать, что она выпукла, в противном случае функция выпукла.
Решите g(x), используя метод производных.
g(x) = x² + x*sin(x) + exp(-x)
продифференцируем g(x) по x.
g’(x) = 2x + sin(x) + x*cos(x)- exp(-x)
снова продифференцируем g'(x) по x.
g''(x) = 2 + cos(x) + cos(x)-x*sin(x) +e(-x)
g''(x) = 2 + 2cos(x)-x*sin(x) + exp(-x)
Можете ли вы объяснить, является ли g’’(x) положительным или отрицательным?
g''(x) = 2+2cos(x) + exp(-x)- x*sin(x)
если мы выберем диапазон x от -бесконечности до 2, то есть (-бесконечность ‹x≤2). В этом диапазоне мы можем сказать, что g''(x) всегда будет положительным. Это означает, что эта функция является выпуклой функцией, которая является True. Но что, если мы увеличим диапазон x. Если x ‹ 0, то exp(-x) будет увеличиваться экспоненциально, так что g''(x) всегда будет больше 0. Что, если x > 0?
В этом случае g’’(x) зависит только от значения x*sin(x). так как мы знаем, что sin(x) будет колебаться от [-1 , 1] . g’’(x) несколько раз увеличится, а время уменьшится. Но в целом, если мы наблюдаем график, он увеличивается линейно. Проверьте график g’’(x) в диапазоне[0,100] .
Итак, на этом графике x варьируется от [-100 , 100]. В каком-то интервале g(x) вогнута, а в каком-то выпукла. В задачах этого типа мы можем рассчитать поведение выпуклости или вогнутости на интервале. Мы также можем заключить из функции, что глобальное максимальное и глобальное минимальное значение функции находятся в бесконечности и -бесконечности. Что эта функция имеет значение локальный минимум и локальный максимум в фиксированном интервале. Но нет значений глобального минимума и глобального максимума.
Как вычислить минимальное и максимальное значение функции:
Прежде чем мы обсудим глобальные минимальные и глобальные максимальные значения, давайте сначала обсудим, как рассчитать минимальное и максимальное значение?
Шаги для вычисления максимумов и минимумов функции:
- Продифференцируйте функцию f(x) и найдите значение x=a такое, что f’(a) = 0
2. Снова продифференцируйте f’(x) и проверьте, если f’’(a) ≥ 0, то f(a) будет минимальным значением f(x).
3. Если f’’(a)‹ 0, то f(a) является максимальным значением f(x).
Этот расчет помогает нам найти локальное минимальное и локальное максимальное значение f(x). Локальное минимальное и локальное максимальное значение — это наименьшее и максимальное значение функции f(x) на этом интервале.
Функция f(x) может иметь более одного локального минимума и локального максимума.
Глобальное максимальное и глобальное минимальное значение
Глобальный или абсолютный минимум — это наименьшее значение функции.
Глобальный или абсолютный максимум — это наибольшее значение функции.
Функция f(x) может иметь только одно абсолютное максимальное и абсолютное минимальное значение.
Надеюсь, вам понравилась эта статья, и вы поняли самую важную концепцию максимумов и минимумов, а также вогнутых и выпуклых функций. Если вам понравилась эта статья, хлопните в ладоши. Поделитесь им с друзьями или в ваших связях. Следуйте за мной и ИИ и математикой для получения дополнительных статей об алгоритмах ИИ в будущем. Здесь я укажу темы, которые я объясню в этой серии. https://medium.com/@adarshp199877/ai-and-mathematics-121e4e200680
