Одним из самых больших препятствий в изучении линейной алгебры было овладение этой интуицией. Собственные значения и собственные векторы - одна из тех вещей, которые появляются в миллионе мест, потому что они очень полезны, но чтобы распознать, где они могут быть полезны, вам понадобится интуиция относительно того, что они делают.

Собственные векторы - это «оси» преобразования, представленного матрицей. Представьте, что вращается глобус (вселенная векторов): каждое место обращено в новом направлении, кроме полюсов. Собственное значение - это величина, на которую собственный вектор масштабируется вверх или вниз при прохождении через матрицу.

Собственные значения - это специальные числа, связанные с матрицей, а собственные векторы - это специальные векторы.

Матрица «A» действует на векторы v, как функция, с входом v и выходом Av. Собственные векторы - это векторы, для которых Av параллельно v. Другими словами:

Av = λv.

В этом уравнении v - собственный вектор A, а λ - собственное значение A.

Если вы можете провести линию через три точки (0,0), v и Av, тогда Av - это просто v, умноженное на число λ; то есть Av = λv

В этом случае мы называем λ собственным значением, а v - собственным вектором. Например, здесь (1,2) - собственный вектор, а 5 - собственное значение.

Давайте посмотрим на демонстрацию, чтобы наглядно понять, что такое собственное значение и собственный вектор.

Http://ammozon.co.in/gif/eigenvector.gif

собственные подпространства: измените столбцы A и перетащите v как собственный вектор. Обратите внимание на три факта: во-первых, каждая точка на той же прямой, что и собственный вектор, является собственным вектором. Эти строки являются собственными подпространствами, и с каждой из них связано собственное значение. Во-вторых, если вы поместите v в собственное подпространство (s1 или s2) с соответствующим собственным значением λ ‹1, тогда Av будет ближе к (0,0), чем v; но когда λ> 1, то дальше. В-третьих, оба собственных подпространства зависят от обоих столбцов A: это не значит, что a1 влияет только на s1.

Http://ammozon.co.in/gif/eigenspaces.gif

Для чего нужны собственные значения / векторы?

Если вы продолжите умножать v на A, вы получите последовательность v, Av, A²v ^ 2v и т.д. Следовательно, собственные векторы / значения говорят нам о системах, которые развиваются шаг за шагом.

Удачного машинного обучения…