С распространением данных, технократов и популярных книг по статистике все более значительная часть населения знакома с ожидаемой стоимостью. Для непосвященного ожидаемого значения это «среднее», результат некоторого случайного процесса - в текстах статистики это обозначено как E [X]. Иногда это означает наиболее частый результат. Если вы случайным образом выбрали кандидата наук в области информатики, вы ожидаете, что это будет мужчина, потому что подавляющая часть кандидатов наук в области компьютерных наук - мужчины. Иногда это означает значение, которое минимизирует вашу ошибку. Если вы выберете случайного человека в США, вы ожидаете, что его будет около 38 лет, не потому, что большинству людей 38, а потому, что это минимизирует количество, которое вы в среднем пропускаете.

Ожидаемая ценность - очень полезная концепция во многих случаях. Он скажет вам, чего ожидать. И если мы знаем, чего ожидать, есть основания думать, что мы должны знать, что делать. Если вы собираетесь в Исландию зимой, ожидайте, что там будет холодно, и возьмите с собой пальто. Если вы ходите в медицинскую школу, вы должны рассчитывать на накопление долгов в 200 тысяч долларов и, возможно, вместо этого просто станете инженером-программистом. Если вам предлагается ставка с положительным ожидаемым доходом, вы должны ее принять.

Основное внимание в этой статье будет уделено последнему утверждению. Отличный вопрос на собеседовании, который гарантированно запутает новых выпускников количественных программ: можете ли вы придумать игру со ставками с отрицательным математическим ожиданием, в которой вы гарантированно выиграете? Несколько удивительно, что ответ - да, хотя для этого требуются некоторые сверхъестественные странности. Достаточно сказать, что никогда не стоит играть в рулетку с Дьяволом.

The Stooge

Давайте представим первого персонажа. The Stooge - недавно присвоенная докторская степень в каком-то известном учреждении в такой области, как политология. Stooge знаком со статистикой и проверкой гипотез и твердо верит в их силу. Они живут по нескольким простым принципам:

1. Если ожидаемая ценность события положительна, сделайте это.

2. Рискните как можно меньше, чтобы снова сыграть в игру.

3. Если что-то кажется слишком хорошим, чтобы быть правдой, вероятно, так оно и есть, поэтому будьте осторожны.

Похоже на хорошие правила. Первое гарантирует, что вы не будете играть в проигрышную игру, как лохи, покупающие лотерейные билеты. Второй гарантирует, что вы стремитесь уловить ожидаемую ценность события и уменьшить подверженность дисперсии. Третий - должная осмотрительность.

После долгого дня избирательной кампании в районе дельты Миссисипи в конце августа наш главный герой направляется в свой отель. Если вы никогда не имели удовольствия жить в Миссисипи, там в августе жарко. Опрашивающий хотел выпить. На перекрестке возле своего отеля он видит бар, на который раньше не обращал внимания, и тут случайно оказывается его любимое пиво, и он идет.

В баре немного оживленно, с необычно хорошо одетым барменом, несколькими посетителями и автоматом для игры в видео-рулетку. Stooge садится рядом с ним, любопытно, насколько обернутыми будут игроки. Игра в основном такая, как и следовало ожидать: 38 чисел на циферблате черного и красного цвета (что любопытно, никакого зеленого) и немного ужасные шансы. Ставка на один номер (шанс выпадения 1/38) дает 37 выплат, ставка 1 доллар обычно возвращает 0,97 доллара… не очень хорошо. Первые 12 (шанс выпадения 12/38) выплачиваются в 3 раза, ваш доллар возвращает вам 0,94 доллара… все еще не очень хорошо. Любой, кто знаком с казино, знает, что они зарабатывают деньги на том, что каждая ставка приносит пользу заведению, но лишь незначительно.

Любопытно, однако, что цветная ставка (1/2 шанс выпадения) также приносит 3х. У марионетки есть интерес. Ожидаемая стоимость долларовой ставки составляет 1,50 доллара. Это победитель. Автомат сертифицирован Обществом актуарного тестирования и точной нумерации штата Миссисипи, довольно уважаемой организацией в мире азартных игр. Размер ставки для цветных ставок составляет 10 долларов, а для всех остальных - несколько центов.

Странная игра

Наш главный герой сверяется со своими максимами. Выплата положительная? Безусловно, если игра честная, он сегодня пьет бесплатно. Достаточно ли мал риск, что он сможет снова сыграть? Имея 200 долларов наличными на поездку, он может сыграть 20 раз. Это кажется слишком хорошим, чтобы быть правдой? Да! Игра могла быть сфальсифицирована даже несмотря на сертификацию.

У Stooge есть решение: он берет доллар и играет 50 раундов, делая ставки на отдельные числа, записывая результаты красных и черных, а также выигрыши. 27 красных, 23 черных, 2 победы. Применяя простой T-тест (статистический тест на достоверность идей), результаты предполагают честную игру или, по крайней мере, такую, которая недостаточно настроена против игрока, чтобы сделать цветовую ставку непривлекательной. Stooge загружает в автомат 200 долларов.

Он выигрывает первый бросок и получает 30 долларов. Автомат изменяет размер ставки для цветной ставки на 40 долларов. Вращайте снова, победитель, до 120 долларов. Размер ставки снова меняется на 130 долларов. Поскольку The Stooge рассматривает возможность ухода, выплаты на автомате увеличиваются до 4x. Еще один спин, проигрыш. Сейчас он проиграл 10 долларов, игра сбрасывает размер ставки до 10 долларов, а выплату - до 3х. Ставка по-прежнему мала, математическое ожидание по-прежнему положительно, и теперь Doc зависает. Он снова крутится.

Дьявол всегда побеждает

Эта игра продолжается до тех пор, пока у игрока не закончатся деньги, и, в конце концов, он всегда будет без денег. Обратите внимание, что задача здесь состоит в том, чтобы разработать игру, которая не просто стремится к победе Дьявола, но гарантирует ее. Гарантия означает, что вы в конечном итоге получите результат с абсолютной уверенностью, в то время как тенденция подразумевает только то, что результат более вероятен, чем нет. В этой игре гарантируется, что игрок в конечном итоге проиграет. Мы используем это, увеличивая размер ставки пропорционально выплате, пытаясь довести оппонента до разорения.

Разрушение здесь может означать несколько вещей. Во-первых, он может описать ситуацию, когда Stooge феноменально не везет и проигрывает 20 вращений подряд. Вероятность этого астрономически мала, а результаты неинтересны, поэтому мы заметим, что это может произойти, и продолжим. Во-вторых, он может описать, что происходит, когда вы ставите слишком много и проигрываете, даже если шансы выглядят хорошо. В любом случае ваш кошелек станет намного тоньше.

Если мы проанализируем эту игру более подробно, то увидим, что вращение рулетки само по себе является повторяющейся подигрой по отношению к гораздо более крупной реальной игре. Подигра имеет положительное математическое ожидание, вы будете правы в половине случаев и получите за нее более чем двукратную выплату. Повторяющаяся игра имеет отрицательное математическое ожидание: вы в конечном итоге проиграете, а когда проиграете, то потеряете все.

Другой способ интерпретировать это: хотя у нашего главного героя есть хорошие практические правила для навигации в неопределенном мире, у него нет основополагающей концепции управления рисками. Приличным началом здесь могло бы быть добавление 4-й максимы, согласно которой повышенный риск должен соответствовать увеличенному вознаграждению. Говоря об инвестициях, мы хотели бы генерировать альфу, а на языке бизнеса мы хотели бы получить положительную чистую приведенную стоимость с поправкой на риск. Большинство людей сделают вторую ставку в серии игр: 40 долларов за трехкратную выплату. Давайте попробуем стратегию, в которой вы уйдете, когда отношение множителя выплаты к размеру ставки меньше 0,1:

Не так уж и хорошо. Ваш оппонент может увеличить выплату, чтобы вы продолжали играть, и хотя ваши доходы выше - в одной из приведенных выше игр ваш кошелек поднимается выше 4000 долларов - вы все равно в конечном итоге все теряете.

Знайте, когда уходить

Еще одна интерпретация этой игры заключается в следующем. Дьявол заранее платит The Stooge премию, чтобы позже сделать самоубийственные ставки. Суицидальные ставки настолько велики, что приводят к разорению. По моему опыту, избегать самоубийства - хорошая идея. Один из способов сделать это - не играть. Не играть имеет ожидаемое значение 0, что лучше, чем проиграть все, но хуже, чем политика ухода после первого вращения - ожидаемая прибыль 15 долларов.

Если вы все-таки сыграете в рулетку с дьяволом, у вас должно быть 2 гола. Во-первых, не разориться, многие стратегии, которые позволяют вам уйти, если ставка превышает определенный низкий порог, позволят добиться этого. Однако не каждый день покупка 1,50 доллара обходится в доллар, что ведет ко второй цели: получить то, что вы можете, пока можете. Пороговые подходы этого не делают. Вместо этого нам нужна стратегия, которая измеряет вознаграждение с риском разорения, а не просто с риском проигрыша.

Вышеупомянутые прогоны были созданы с использованием особой стратегии остановки, известной как критерий Келли. Все они заканчиваются положительной отдачей, хотя остановка Келли не гарантирует выигрыша, но, как правило, приносит ее. Вывод и история формулы выходит за рамки этой статьи, хотя она хорошо задокументирована. Однако интуиция вполне оправдана. Если мы думаем о риске, награде и разорении, мы знаем:

1. Мы разорены только тогда, когда проигрываем

2. Мы получаем выплаты только тогда, когда выигрываем.

3. Мы хотим делать более крупные ставки по мере увеличения выплат.

4. Мы разоряемся, когда наши ставки становятся слишком большими по сравнению с нашим кошельком.

Если мы превратим эти утверждения в формулу, мы захотим ограничить наши ставки на основе вероятности проигрыша, выплаты и размера нашего кошелька. По мере роста нашего кошелька, увеличения выплаты или увеличения вероятности выигрыша, мы увеличиваем максимальную ставку, которую готовы сделать. По мере того, как мы теряем деньги, выплаты уменьшаются или вероятность проигрыша увеличивается, мы делаем меньшие ставки или уходим. Наконец, нам нужен ограничивающий фактор, который, даже если выплаты станут сколь угодно большими, позволит нам уйти. Остановка Келли делает это оптимальным образом.

На самом деле, конечно, мы часто не знаем ни выплаты, ни шансы. Мы нанимаем квантов, специалистов по данным, экспертов и ночных жрецов вуду из MBB, чтобы попытаться решить их; хотя, конечно, в их прогнозах есть неопределенность. Однако мы знаем одно: что мы можем разумно потерять и продолжать двигаться вперед. Хотя вероятности и выплаты важны, для любой достаточно продолжительной игры они бледнеют по сравнению с управлением разорением.

Заявление об ограничении ответственности: мнения, выраженные в данном документе, принадлежат автору, а не обязательно их работодателю, организации или аффилированному лицу.

© 2021 Дуглас Гамильтон