В этом курсе мы изучим некоторые фундаментальные понятия геометрии, которые впоследствии помогут нам понять математические модели, на которых основано получение изображений.

Мы все сначала увидим основной геометрический примитив, то есть точку, ее формулировку в евклидовом пространстве, затем то, как представить эту точку в проективном пространстве, а затем сформулируем некоторые основные понятия об этом новом пространстве и, наконец, изучим другие примитивы, связанные с евклидовым пространством. точка

Одним из основных примитивов в геометрии является точка, точка может быть определена одной или несколькими координатами в зависимости от пространства, с которым мы работаем, например, в 2D точка определяется в евклидовой системе координат вектором с двумя компонентами как следует,

Хотя это наиболее широко используемые обозначения для определения точки, это определение редко используется в областях, связанных с компьютерным зрением, где точка обычно определяется в однородных координатах. Это можно сделать просто, добавив дополнительное измерение следующим образом:

Если вам дана точка в однородных координатах, вы можете сделать обратное преобразование, просто разделив ее на последний член.

Для одной физической точки в 2D множество

определяет все возможные точки в трехмерном пространстве, которые представляют одну и ту же физическую точку (x, y) в двухмерном пространстве. Таким образом, мы можем заключить, что все точки этого множества эквивалентны в том смысле, что они представляют одну и ту же точку. В общем случае можно сказать, что все линии в 3D, которые проходят через начало координат, но не содержат его, будут представлять одну и ту же физическую точку.

После того, как мы определили точку, давайте определим прямую линию, мы помним, что прямая линия в 2D определяется следующим уравнением:

Довольно простой способ интерпретировать это уравнение состоит в том, чтобы считать, что множество точек, принадлежащих прямой линии, параметризованной вектором ℓ = (a, b, c), имеет нулевое скалярное произведение с этим, более формально

Мы можем умножить первое уравнение на w, мы получим

Поэтому это же уравнение проверяется в однородной координате.

Мы можем рассматривать вектор параметра ℓ как представление по однородным координатам прямой в 2D, точно так же мы можем сказать, что любая прямая, проходящая через начало координат, но не содержащая ее, является однородным представлением физической точки в 2D.

Это представление в однородных координатах очень помогает нам решать некоторые геометрические операции. Например, пересечение двух прямых, параметризованных ℓ1 и ℓ2, задается их перекрестным произведением следующим образом:

Мы также можем легко вычислить линию между двумя точками следующим образом

Например, для следующих двух точек

Прямая линия задается

Первое уравнение исходит из того факта, что x принадлежит двум линиям, и проверяет следующие уравнения

А второе уравнение исходит из того, что две точки принадлежат одной прямой и проверяют следующие уравнения

Для достижения окончательных результатов необходимы некоторые базовые расчеты.

Когда у нас есть две параллельные линии, каждая с наклоном a/b и параметризованные как ℓ1 = (a, b, c) и ℓ2 = (a, b, c'), и мы пытаемся вычислить пересечение в однородных координатах, мы окажется в точке пересечения x = (b, -a, 0).

Чтобы понять, что на самом деле означает иметь w = 0 в однородных координатах, мы зафиксируем единственную точку в пространстве с однородными координатами, заданными (u, v, w), эта трехмерная точка представляет собой единственную физическую точку в 2d, заданную (u / w, v / w, 1) , когда w стремится к нулю, эти точки стремятся к бесконечности, но в зависимости от знака u и v окончательные результаты будут принадлежать (+/- бесконечность, +/- бесконечность).

Следовательно, для двух параллельных прямых в 2d с наклоном a / b точка пересечения задается в однородных координатах (b, -a, 0), которая является бесконечно удаленной точкой с определенным направлением, заданным знаком ( а, б). В более общем смысле все точки в однородных координатах с w = 0 называются идеальными точками или точками на бесконечности.

Все идеальные точки образуют прямую линию, если мы возьмем две случайные идеальные точки (u1, v1,0) и (u2, v2,0), мы увидим, что они принадлежат линии, заданной выражением

Эта линия одинакова для всех пар идеальных точек и называется линией на бесконечности.

Последний геометрический примитив, который мы здесь увидим, — это коническая кривая, которую мы получаем при пересечении плоскости и конуса. В евклидовой геометрии мы можем найти три типа комиксов: гипербола, парабола и эллипс.

В физическом 2d неявная форма коники задается выражением

Чтобы формула была в однородных координатах, заменим 2d точки (x,y) на 3d точку (x1,x2,x3), где x=x1/x3 и y=x2/x3, подставив эти значения в первое уравнение, мы получаем

Мы можем переписать это в матричной форме следующим образом

or,

Где C — однородные координаты коники.

Что касается точки, то мы можем определить классы эквивалентности этой коники следующим образом

Все элементы этого множества представляют собой одну и ту же конику.

На следующих занятиях нам нужно будет вычислить пересечение прямой, параметризованной ℓ, с коническим сечением, параметризованным C, которое можно легко получить с помощью

Это происходит из-за того, что точка принадлежит как конике, так и прямой, и поэтому проверьте следующее уравнение

Единственность этих точек заключается в том, что если мы предположим, что существуют две различные точки x и y, которые принадлежат как конике, так и прямой и, следовательно, удовлетворяют следующим уравнениям

Если мы объединим эти два уравнения, мы получим следующее уравнение

Который утверждает, что все точки на прямой, соединяющей x и y, принадлежат конике, что в принципе невозможно.

Коники типа Антора, которые мы будем использовать позже, представляют собой вырожденные коники, которые образуются, когда плоскость пересекает двойной конус и проходит через оси, этот тип коник обычно представляется как пересечение двух прямых, если мы предположим, что эти линии параметризуются ℓ и m, тогда результирующее вырожденное коническое сечение определяется выражением

Используя основные понятия исчисления, мы можем показать, что C удовлетворяет коническому уравнению

Для всех точек x, принадлежащих одновременно двум прямым.

Заключение

В этом курсе мы указали некоторые геометрические примитивы в 2D как их представление в однородных координатах, в следующих курсах эти основные понятия будут необходимы для понимания более сложных концепций получения изображений.