Скалярный продукт и двойственность — 3Blue1Brown
Скалярное произведение
Скалярное произведение — это способ умножения векторов. Итак, как мы вычисляем скалярное произведение? В числовом представлении, если у вас есть два вектора в одном измерении, вы объединяете все координаты в пары, перемножаете их и складываете вместе.
С геометрической точки зрения скалярное произведение двух векторов v и w можно представить как длину проекции w на v, умноженную на длину v.
Здесь порядок не имеет значения.
Скалярное произведение и векторные направления
При вычислении скалярного произведения возможны три случая: когда скалярное произведение имеет положительное значение, отрицательное значение и нулевое значение. Давайте посмотрим на это с геометрической точки зрения.
Когда два вектора имеют одинаковое направление, как в приведенном выше примере, скалярное произведение двух векторов становится положительным.
Когда один вектор имеет противоположное направление, как в примере выше, мы ставим знак минус перед значением. Таким образом, можно сказать, что если скалярное произведение двух векторов имеет отрицательное значение, два вектора имеют противоположные направления.
Когда один вектор перпендикулярен другому, то есть вектор w, спроецированный на вектор v, становится нулевым вектором, скалярное произведение будет равно нулю.
Соединение двух представлений
Мы рассмотрели два взгляда на скалярный продукт. Одно было числовым представлением, которое объединяло координаты в пары, умножало их и складывало их вместе, а другое было геометрическим представлением, которое определяло скалярное произведение как умножение проекции определенного вектора на другой и другой вектор.
Если рассматривать скалярный продукт с числовой точки зрения, он использует два вектора и выдает определенное значение. В предыдущем посте мы видели что-то, что принимает вектор и возвращает число (+ уменьшение размерности)
Матрица 1 x 2 (линейное преобразование) была единственной.
Мы собираемся доказать, что вычисление скалярного произведения такое же, как проекция вектора, за 5 шагов.
- Проведите линию по диагонали, сохраняя исходную точку. Представьте, что существует единичный вектор u. Мы можем думать об этих оранжевых точках как о векторах, корни которых находятся в начале координат.
2. Мы можем спроецировать точки на диагональную линию, которая имеет вектор u в качестве базисного вектора (1d). Это означает, что мы преобразуем двумерную плоскость в одномерную линию. Это может быть представлено в виде матрицы 1 x 2.
3. Таинственная матрица представляет собой место приземления i-хэта и джей-хэта. Как мы видели при умножении матриц,
мы можем видеть преобразование как преобразование i-hat и j-hat и их масштабирование.
Итак, чтобы узнать, куда идет преобразованный вектор, мы должны проследить, куда идут i-hat и j-hat.
4. Нарисуем фиолетовым цветом линию симметрии.
Так как же будет выглядеть трансформация? Где приземлятся i-hat и j-hat, если спроецировать их на вектор u?
Поскольку мы нарисовали линию симметрии, i-шляпа, спроецированная на вектор u, будет иметь то же значение, что и вектор u, спроецированный на i-шляпу. Точно так же j-шляпа, спроецированная на вектор u, будет иметь то же значение, что и вектор u, спроецированный на j-шляпу.
Таким образом, i-шляпа приземляется на координату x вектора u, а j-шляпа приземляется на координату y вектора u.
5. Таким образом, загадочное преобразование будет:
Заключение
Итак, скалярное произведение — полезный способ узнать о направлениях векторов и понять проекции.
Однако, если мы углубимся, урок состоит в том, что каждый раз, когда у вас есть одно из тех линейных преобразований, у которых есть выходное пространство числовой прямой, это преобразование будет иметь соответствующий вектор.
Кроме того, применение этого преобразования будет таким же, как скалярное произведение с соответствующим вектором.
