Кросс-продукты — 3Blue1Brown
Информация о перекрестных произведениях
Эта площадь параллелограмма является величиной «перекрестного произведения» этих двух векторов.
Когда вектор v находится справа от вектора w, величина перекрестного произведения становится положительной. Когда вектор v находится слева от вектора w, величина становится отрицательной.
- Это означает, что порядок имеет значение в перекрестных произведениях.
Если мы поменяем местами вектор v и вектор w, значение станет отрицательным по сравнению с тем, что было раньше.
Как вычислить величину перекрестных произведений
Обратите внимание, что мы уже встречались с похожим термином — определителем.
Для двумерных перекрестных произведений запишите координаты вектора v в качестве первого столбца матрицы и запишите координаты вектора w в качестве второго столбца матрицы, затем вычислите определитель.
Почему?
Это связано с тем, что созданная матрица также представляет собой линейное преобразование. Цель состоит в том, чтобы узнать площадь параллелограмма, и до нашего линейного преобразования параллелограмм, который образует i-шляпа и j-шляпа, имеет площадь 1, поскольку эти векторы являются единичными векторами (1 x 1).
И после линейного преобразования эта область естественным образом превратилась бы в то, что мы хотим. Проверьте, переворачивается ли квадратная область или нет, потому что она решает, является ли значение положительным или отрицательным.
Характеры величины перекрестного произведения
Естественно, когда два вектора перпендикулярны друг другу, величина векторного произведения максимальна.
Если один вектор масштабируется, общее значение масштабируется на эту величину.
Так что же такое кросс-произведение?
Обратите внимание, что мы продолжали использовать термин «величина перекрестного произведения», а не само перекрестное произведение. Это потому, что та синяя область, о которой мы все время говорили, не является перекрестным произведением. Это величина перекрестного произведения.
Перекрестное произведение — это векторный результат, полученный путем умножения двух векторов.
Вектор имеет свою величину и свое направление. Синяя область, которую мы обсуждали до сих пор, определяет величину выходного вектора.
Но каким образом?
Есть 2 вектора, которые перпендикулярны этой области.
Поскольку мы определили величину векторного произведения с помощью определителя, мы определим направление векторного произведения с помощью «правила правой руки».
Правило правой руки
Мы можем определить направление вектора векторного произведения n правой рукой.
Как вычислить перекрестное произведение?
