Много раз люди путаются в разложении по собственным значениям, и становится очень сложно визуализировать, как разлагаются собственные векторы. Но не волнуйтесь, так как в этой статье мы подробно рассмотрим разложение по собственным значениям.
Введение
Разложение по собственным значениям — фундаментальная концепция линейной алгебры, позволяющая разложить квадратную матрицу на набор собственных векторов и собственных значений. Это важный инструмент в линейной алгебре и ее приложениях, и стоит потратить некоторое время, чтобы полностью его понять.
Собственные векторы
Собственные векторы — это специальные векторы, которые растягиваются или масштабируются матрицей предсказуемым образом. Для квадратной матрицы A ненулевой вектор v является собственным вектором A, если он удовлетворяет следующему уравнению:
где λ — скаляр, называемый собственным значением, соответствующим собственному вектору v. Скаляр λ представляет величину, на которую матрица A растягивает или масштабирует собственный вектор v.
Разложение по собственному значению
Разложение по собственным значениям матрицы A представляет собой разложение вида:
где Q — ортогональная матрица, состоящая из собственных векторов A, а Λ — диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения A. Ортогональная матрица Q состоит из собственных векторов A, а собственные значения хранятся по диагонали матрицы A. матрица Л. Матрица собственных значений — это диагональная матрица, содержащая собственные значения квадратной матрицы A. Матрица собственных значений может использоваться для представления масштабирования или растяжения, которое матрица выполняет со своими собственными векторами.
Определитель квадратной матрицы — это скалярное значение, которое описывает величину преобразования масштабирования, выполняемого матрицей. Определитель обозначается как |A| и может быть вычислено как произведение собственных значений матрицы. Если собственные значения матрицы действительны и положительны, то определитель также является действительным и положительным и дает меру величины масштабного преобразования, выполненного матрицей.
При разложении матрицы по собственным значениям определитель матрицы равен произведению собственных значений матрицы.
Это означает, что определитель предоставляет информацию о величине преобразования масштабирования, выполняемого матрицей, и о том, как оно влияет на собственные векторы матрицы.
Определитель также полезен для решения линейных систем и для вычисления обратной матрицы. Если определитель матрицы отличен от нуля, то матрица обратима, и обратную матрицу можно найти с помощью разложения по собственным значениям.
Свойства собственных значений
- Вещественные собственные значения. Собственные значения вещественной квадратной матрицы представляют собой действительные числа.
- Сумма собственных значений. Сумма собственных значений матрицы равна следу матрицы. Это можно записать как:
3. Произведение собственных значений. Произведение собственных значений матрицы равно определителю матрицы. Это можно записать как:
4. Характеристическое уравнение. Собственные значения матрицы можно найти, решив характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение определяется как полиномиальное уравнение, корни которого являются собственными значениями матрицы. Характеристическое уравнение можно записать в виде:
где det — определитель, A — матрица, λ — собственное значение, а I — единичная матрица.
5. Алгебраическая кратность. Алгебраическая кратность собственного значения — это количество раз, когда собственное значение появляется в качестве корня характеристического уравнения.
6. Геометрическая кратность. Геометрическая кратность собственного значения — это размер собственного пространства, соответствующего собственному значению. Собственное пространство — это набор всех собственных векторов, соответствующих собственному значению.
7. Положительно определенная: если все собственные значения больше 0, матрица A является положительно определенной.
8. Положительно-полуопределенная: если все собственные значения больше или равны 0, матрица A является положительно-полуопределенной.
9. Ранг: ранг матрицы A равен количеству ненулевых собственных значений при разложении.
10. Ортогональная диагонализация. Если квадратная матрица имеет n линейно независимых собственных векторов, то матрицу можно диагонализовать с помощью ортогональной матрицы. Это означает, что матрицу можно преобразовать в диагональную матрицу, состоящую из собственных значений, путем умножения ее на ортогональную матрицу.
11. Комплексные собственные значения. Квадратная матрица также может иметь комплексные собственные значения. В этом случае собственные векторы, соответствующие комплексным собственным значениям, также будут комплексными.
12. Собственные векторы и диагонализация. Если матрицу можно диагонализовать, то ее собственные векторы образуют основу векторного пространства. Это означает, что любой вектор в векторном пространстве может быть выражен как линейная комбинация собственных векторов матрицы.
13. Степени матрицы. Собственные значения матрицы полезны для нахождения степеней матрицы. Например, если A — квадратная матрица, а λ — собственное значение A, то λ^k также является собственным значением A^k.
Приложения
Разложение по собственным значениям имеет широкий спектр применений в различных областях, таких как обработка изображений, компьютерная графика, теория управления и машинное обучение. Например, он используется в анализе основных компонентов (PCA) для уменьшения размерности данных, в спектральной кластеризации для группировки схожих точек данных и в системах рекомендаций для прогнозирования оценок элементов для пользователя.
Разложение по собственным значениям имеет множество приложений в линейной алгебре и численном анализе. Он используется для изучения устойчивости и сходимости линейных систем, для нахождения стационарных точек функций и для решения дифференциальных уравнений. Он также используется в анализе данных, компьютерной графике и компьютерном зрении, где он используется для анализа структуры наборов данных и выполнения уменьшения размерности.
Заключение
В заключение, матрица собственных значений и определитель являются важными понятиями линейной алгебры и связаны с разложением матрицы по собственным значениям. Матрица собственных значений предоставляет информацию о преобразовании масштабирования, выполняемом матрицей, а определитель предоставляет информацию о величине преобразования масштабирования и его влиянии на собственные векторы матрицы.
Если вы сочтете эту статью полезной, подпишитесь на меня, чтобы получать больше подобного контента, где я часто публикую статьи о науке о данных, машинном обучении и искусственном интеллекте.
