Понимание точечных оценок

Как статистик, важно знать наилучшее предположение для неизвестного параметра совокупности. Точечная оценка — это одно значение, полученное из выборки, которое служит наилучшей аппроксимацией значения неизвестного параметра генеральной совокупности, такого как среднее значение и стандартное отклонение. Точечные оценки обычно используются в статистике, чтобы делать выводы о населении, и они составляют основу многочисленных статистических анализов.

Чтобы рассчитать точечную оценку, мы можем использовать выборочные статистические данные, такие как среднее значение и стандартное отклонение, которые обеспечивают хорошее представление о поведении населения. Выборочная статистика предоставляет информацию, которая помогает сформулировать утверждения о населении. Эта информация также может быть использована для установления доверительных интервалов.

Понимание доверительного интервала

Понимание доверительного интервала Доверительный интервал — это оценочный диапазон значений, в который, как мы ожидаем, попадет параметр генеральной совокупности. Это показатель неопределенности, которая существует вокруг оценки, полученной на основе выборки данных. Проще говоря, он сообщает нам диапазон значений, для которых мы уверены, что истинное значение параметра находится в этом интервале. Доверительный интервал может быть выражен как:

Доверительный интервал = точечная оценка ± допустимая погрешность

Погрешность важна при расчете доверительного интервала, поскольку она определяет, насколько широким будет этот интервал. Погрешность прямо пропорциональна уровню достоверности. Уровень достоверности обычно выражается в процентах, например 95%, и является мерой того, насколько мы уверены в том, что истинное значение находится в пределах интервала.

Существуют разные способы расчета доверительного интервала, но все они основаны на одних и тех же принципах. Одним из популярных методов является использование z-показателей, стандартного отклонения между средним значением выборки и истинным средним значением генеральной совокупности, которые могут помочь определить верхний и нижний пределы доверительного интервала. Другим методом является использование t-показателей, которые учитывают размер выборки при оценке среднего значения генеральной совокупности.

Понимание доверительных интервалов с известным стандартным отклонением

Доверительный интервал — это статистический инструмент, используемый для оценки неизвестного параметра совокупности, такого как среднее значение совокупности, когда известно стандартное отклонение совокупности (σ). Он обеспечивает диапазон значений, в пределах которого мы можем быть уверены, что находится истинный параметр популяции.

Чтобы рассчитать доверительный интервал с известным стандартным отклонением, мы используем Z-оценку, которая измеряет количество стандартных отклонений точки данных от среднего значения. Формула для расчета доверительного интервала:

Доверительный интервал = выборочное среднее ± Z * (σ / √n)

Здесь среднее значение выборки представляет собой среднее значение выборочных данных, Z — Z-оценка, соответствующая желаемому уровню достоверности, σ — известное стандартное отклонение совокупности, а n — размер выборки.

Условия для доверительных интервалов с известным стандартным отклонением

Существуют определенные условия, которые должны быть соблюдены для использования доверительного интервала, когда известно стандартное отклонение генеральной совокупности:

  1. Случайная выборка. Данные должны собираться с использованием методов случайной выборки, чтобы гарантировать, что они представляют всю совокупность и сводят к минимуму систематические ошибки.
  2. Нормальное распределение или большой размер выборки. Базовая совокупность должна следовать нормальному распределению. В качестве альтернативы, если размер выборки достаточно велик (обычно n ≥ 30), Центральная предельная теорема гарантирует, что среднее значение выборки будет иметь нормальное распределение.

Погрешности и факторы, влияющие на них

Предел погрешности — это мера неопределенности, связанная с оцениваемым параметром генеральной совокупности в пределах доверительного интервала. Меньшая погрешность указывает на более точную оценку.

Факторы, влияющие на погрешность, включают:

  1. Размер выборки (n).Увеличение размера выборки снижает погрешность, поскольку дает больше информации о генеральной совокупности.

2. Уровень достоверности: более высокие уровни достоверности, такие как 95 % или 99 %, приводят к более широким доверительным интервалам и большим погрешностям. Более низкие уровни достоверности, такие как 90%, приводят к более узким интервалам и меньшим погрешностям.

3. Изменчивость данных:более высокая изменчивость данных увеличивает погрешность, а более низкая изменчивость уменьшает ее.

4. Размер совокупности:Влияние размера совокупности на погрешность незначительно, если только размер выборки не превышает 5% от общей совокупности.

Доверительный интервал (сигма неизвестна)

Использование t-процедуры оказалось важным инструментом при оценке среднего значения нормально распределенной совокупности с неизвестным стандартным отклонением совокупности. В этой статье мы обсудим необходимые предположения, которые необходимо выполнить, чтобы сделать точный доверительный интервал с помощью t-процедуры.

Предположения

Чтобы точно использовать t-процедуру, необходимо выполнить три предположения:

Случайная выборка

Первое допущение, которое необходимо выполнить, заключается в том, что данные должны собираться методом случайной выборки. Это гарантирует, что выборка представляет всю совокупность, и снижает систематическую ошибку, позволяя обобщать результаты. Метод случайной выборки также повышает достоверность исследований.

Стандартное отклонение выборки

Второе допущение состоит в том, что стандартное отклонение совокупности неизвестно, а стандартное отклонение выборки оценивается. Использование выборочного стандартного отклонения вносит дополнительную неопределенность, которая объясняется дизайном t-распределения. Таким образом, t-процедура подходит для выборок без информации о стандартном отклонении генеральной совокупности.

Примерно нормальное распределение

Третье предположение состоит в том, что популяция следует приблизительно нормальному распределению. Если это предположение не выполняется, то t-процедура может не давать точных результатов. Однако, если размер выборки достаточно велик, центральную предельную теорему можно применить для оценки примерно нормально распределенной совокупности. В случае сильно асимметричных совокупностей с экстремальными выбросами может быть лучше применять непараметрические методы.

Независимые наблюдения

Чтобы получить хорошие результаты при работе с данными временных рядов или данными с присущими зависимостями, наблюдения должны быть независимы друг от друга. Это означает, что значение одного наблюдения не должно влиять на значение другого наблюдения.

Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента — это распределение вероятностей, которое возникает при оценке среднего значения нормально распределенной совокупности, где размер выборки невелик, а стандартное отклонение совокупности неизвестно. Распределение Стьюдента похоже на нормальное распределение (также известное как распределение Гаусса или кривая нормального распределения), но имеет более тяжелые хвосты, которые определяются степенями свободы.
Степени свободы связаны с размером выборки. , где степени свободы равны объему выборки минус один. По мере увеличения степеней свободы (т. Е. По мере увеличения размера выборки) t-распределение приближается к нормальному распределению.

Приложения t-распределения

При оценке среднего значения генеральной совокупности или выполнении проверки гипотез t-распределение используется вместо нормального распределения в небольших выборках, обычно менее 30. Это связано с тем, что t-распределение учитывает дополнительную неопределенность, возникающую при оценке генеральной совокупности. стандартное отклонение с образцом стандартного отклонения. Чтобы использовать t-распределение на практике, найдите t-значения из таблицы t-распределения, которые соответствуют определенным степеням свободы и уровням достоверности (например, 95% достоверности). Эти критические t-значения затем используются для расчета доверительных интервалов или проверки гипотез.
В заключение следует отметить, что t-процедура имеет решающее значение при оценке среднего значения нормально распределенной совокупности с неизвестным стандартным отклонением совокупности с использованием небольших размеров выборки. Однако для точного использования этой процедуры должны выполняться допущения о случайной выборке, стандартном отклонении выборки, приблизительно нормальном распределении и независимых наблюдениях.