Что такое «Дополнение 2»?

Представьте, что у вас есть конечное количество битов / цифр / цифр / чего угодно. Вы определяете 0 как все цифры, равные 0, и естественным образом считаете вверх:

00
01
02
..

В конце концов вы переполнитесь.

98
99
00

У нас есть две цифры, и мы можем представить все числа от 0 до 100. Все эти числа положительные! Предположим, мы тоже хотим представлять отрицательные числа?

На самом деле у нас есть цикл. Число перед 2 - 1. Число перед 1 - 0. Число перед 0 - ... 99.

Итак, для простоты предположим, что любое число больше 50 отрицательно. «0» - «49» представляют от 0 до «49». «99» - это -1, «98» - это -2, ... «50» - это -50.

Это представление является дополнением десяти. Компьютеры обычно используют дополнение до двух, что одно и то же, за исключением использования битов вместо цифр.

Преимущество десятичного дополнения в том, что оно просто работает. Для сложения положительных и отрицательных чисел ничего особенного делать не нужно!

Я прочитал фантастическое объяснение на Reddit от jng, используя одометр как аналогия.

Это полезное соглашение. Те же схемы и логические операции, которые добавляют / вычитают положительные числа в двоичном формате, по-прежнему работают как с положительными, так и с отрицательными числами, если используется соглашение, поэтому оно так полезно и повсеместно.

Представьте себе одометр автомобиля, он вращается вокруг (скажем) 99999. Если вы увеличиваете 00000, вы получаете 00001. Если вы уменьшаете 00000, вы получаете 99999 (из-за вращения). Если вы добавите единицу к 99999, она вернется к 00000. Поэтому полезно решить, что 99999 представляет -1. Точно так же очень полезно решить, что 99998 представляет -2 и так далее. Вы должны где-то остановиться, и также по соглашению верхняя половина чисел считается отрицательной (50000-99999), а нижняя половина положительной просто обозначает себя (00000-49999). В результате верхняя цифра, равная 5-9, означает, что представленное число отрицательно, а значение 0-4 означает, что представленное является положительным - в точности то же самое, что и верхний бит, представляющий знак в двоичном числе с дополнением до двух.

Мне тоже было трудно понять это. Как только я получил это и вернулся, чтобы перечитать статьи и объяснения из книг (тогда не было Интернета), оказалось, что многие из тех, кто это описывал, действительно этого не понимали. После этого я написал книгу по обучению на ассемблере (которая хорошо продавалась в течение 10 лет).

Двойное дополнение получается добавлением единицы к 1-му дополнению данного числа. Допустим, мы должны найти двойное дополнение 10101, а затем его дополнение до единиц, то есть 01010 добавить 1 к этому результату, то есть 01010+1=01011, что является окончательным ответом.

Давайте получим ответ 10-12 в двоичной форме, используя 8 бит: Что мы действительно сделаем, так это 10 + (-12)

Нам нужно получить комплимент от 12, чтобы вычесть его из 10. 12 в двоичном формате - это 00001100. 10 в двоичном формате - это 00001010.

Чтобы получить комплиментарную часть числа 12, мы просто меняем местами все биты, а затем добавляем 1. 12 в двоичном инвертированном виде - это 11110011. Это также обратный код (дополнение до единицы). Теперь нам нужно добавить один, который теперь 11110100.

Итак, 11110100 - это комплимент 12! Легко, когда ты так думаешь.

Теперь вы можете решить поставленный выше вопрос от 10 до 12 в двоичной форме.

00001010
11110100
-----------------
11111110  

Если взглянуть на систему дополнения двух чисел с математической точки зрения, это действительно имеет смысл. Идея дополнения до десятков состоит в том, чтобы «изолировать» разницу.

Пример: 63-24 = x

Мы добавляем 24, что на самом деле просто (100 - 24). На самом деле, все, что мы делаем, - это добавляем 100 к обеим сторонам уравнения.

Теперь уравнение: 100 + 63-24 = x + 100, поэтому мы удаляем 100 (или 10, или 1000, или что-то еще).

Из-за неудобной ситуации, когда приходится вычитать одно число из длинной цепочки нулей, мы используем систему «дополнения с уменьшенным основанием», в десятичной системе - дополнение до девяти.

Когда нам предлагают число, вычтенное из большой цепочки девяток, нам просто нужно поменять местами числа.

Пример: 99999 - 03275 = 96724

Вот почему после дополнения до девяти мы прибавляем 1. Как вы, наверное, знаете из детского математического анализа, 9 становится 10 из-за «кражи» 1. Таким образом, в основном это просто дополнение до десяти, которое отнимает 1 от разницы.

В двоичном коде дополнение до двух приравнивается к дополнению до десяти, а дополнение до единицы - к дополнению до девяти. Основное отличие состоит в том, что вместо того, чтобы пытаться изолировать разность степенями десяти (добавляя 10, 100 и т. Д. В уравнение), мы пытаемся изолировать разность степенями двойки.

По этой причине мы инвертируем биты. Точно так же, как наше minuend представляет собой цепочку девяток в десятичном формате, наше minuend представляет собой цепочку единиц в двоичном формате.

Пример: 111111 - 101001 = 010110

Поскольку цепочки единиц на 1 меньше хорошей степени двойки, они «крадут» 1 из разницы, как девятки в десятичной системе счисления.

Когда мы используем отрицательные двоичные числа, мы на самом деле просто говорим:

0000 - 0101 = x

1111 - 0101 = 1010

1111 + 0000 - 0101 = x + 1111

Чтобы «изолировать» x, нам нужно добавить 1, потому что 1111 - это единица от 10000, и мы удаляем ведущую 1, потому что мы просто добавили ее к исходной разнице.

1111 + 1 + 0000 - 0101 = x + 1111 + 1

10000 + 0000 - 0101 = x + 10000

Просто удалите 10000 с обеих сторон, чтобы получить x, это базовая алгебра.

Многие из ответов до сих пор прекрасно объясняют, почему два дополнения используются для представления отрицательного числа, но не говорят нам, что такое два дополнительных числа, особенно почему добавляется '1', и на самом деле часто добавляется неправильно.

Путаница возникает из-за плохого понимания определения дополнительного числа. Дополнение - это недостающая часть, которая могла бы сделать что-то законченным.

Дополнение по основанию системы счисления к n-значному числу x в системе счисления b по определению равно b ^ n-x. В двоичном формате 4 представлено числом 100, которое состоит из 3 цифр (n = 3) и системы счисления 2 (b = 2). Таким образом, его дополнение системы счисления b ^ n-x = 2 ^ 3-4 = 8-4 = 4 (или 100 в двоичном формате).

Однако в двоичном формате получить дополнение radix не так просто, как получить его уменьшенное дополнение radix, которое определяется как (b ^ n-1) -y, всего на 1 меньше, чем дополнение radix. Чтобы получить дополнение с уменьшенным основанием системы счисления, вы просто переворачиваете все цифры.

100 -> 011 (уменьшенное (единичное) дополнение)

чтобы получить дополнение системы счисления (до двух), мы просто добавляем 1, как определено в определении.

011 +1 -> 100 (дополнение до двух).

Теперь, с этим новым пониманием, давайте взглянем на пример, приведенный Винсентом Рамдхани (см. Второй ответ выше).

/ * начало Винсента

Преобразование 1111 в десятичное:

Число начинается с 1, поэтому оно отрицательное, поэтому мы находим дополнение к 1111, которое равно 0000. Добавляем 1 к 0000, и получаем 0001. Преобразуем 0001 в десятичное, что равно 1. Примените знак = -1. Тада!

конец Винсента * /

Следует понимать как

Число начинается с 1, поэтому оно отрицательное. Итак, мы знаем, что это двойное дополнение некоторого значения x. Чтобы найти x, представленный его дополнением до двух, нам сначала нужно найти его дополнение до единицы.

два дополнения x: 1111 одно дополнение x: 1111-1 -> 1110; x = 0001, (перевернуть все цифры)

примените знак -, и ответ = -x = -1.

Слово «дополнение» происходит от полноты. В десятичном мире цифры от 0 до 9 представляют собой дополнение (полный набор) цифр или числовых символов для выражения всех десятичных чисел. В двоичном мире цифры 0 и 1 обеспечивают дополнение цифр для выражения всех двоичных чисел. Фактически, символы 0 и 1 должны использоваться для обозначения всего (текста, изображений и т. Д.), А также положительного (0) и отрицательного (1). В нашем мире пробел слева от числа считается нулем:

                  35=035=000000035.

В хранилище компьютера нет пустого места. Все биты (двоичные цифры) должны быть либо 0, либо 1. Для эффективного использования памяти номера могут храниться как 8-битные, 16-битные, 32-битные, 64-битные, 128-битные представления. Когда число, которое хранится как 8-битное число, передается в 16-битное место, знак и величина (абсолютное значение) должны оставаться неизменными. Оба представления дополнения 1 и 2 способствуют этому. Как существительное: как дополнение до 1, так и дополнение до 2 являются двоичными представлениями величин со знаком, где наиболее значимый бит (тот, что слева) является битом знака. 0 означает положительное значение, а 1 - отрицательное. Дополнение до двух не означает отрицание. Это означает количество со знаком. Как и в десятичной системе счисления, величина представляется как положительная величина. В структуре используется знаковое расширение для сохранения количества при переходе в регистр [] с большим количеством битов:

       [0101]=[00101]=[00000000000101]=5 (base 10)
       [1011]=[11011]=[11111111111011]=-5(base 10)

Как глагол: дополнение 2 означает отрицать. Это не значит отрицать. Значит, если отрицательный, то положительный; если положительный, сделайте отрицательный. Величина - это абсолютное значение:

        if a >= 0 then |a| = a
        if a < 0 then |a| = -a = 2scomplement of a

Эта способность позволяет эффективно выполнять двоичное вычитание, используя отрицание и сложение. а - б = а + (-b)

Официальный способ получить дополнение до 1 - для каждой цифры вычесть ее значение из 1.

        1'scomp(0101) = 1010.

Это то же самое, что переворачивать или инвертировать каждый бит по отдельности. Это приводит к отрицательному нулю, который не очень любят, поэтому добавление единицы к дополнению te 1 избавляет от проблемы. Чтобы отменить или взять дополнение 2s, сначала возьмите дополнение 1s, затем добавьте 1.

        Example 1                             Example 2
         0101  --original number              1101
         1's comp  1010                       0010
         add 1     0001                       0001
         2's comp  1011  --negated number     0011

В примерах отрицание также работает со знаковыми расширенными числами.

Добавление:
1110 Перенести 111110 Перенести 0110 совпадает с 000110 1111 111111 сумма 0101 сумма 000101

Взятие:

    1110  Carry                      00000   Carry
     0110          is the same as     00110
    -0111                            +11001
  ----------                        ----------
sum  0101                       sum   11111

Обратите внимание, что при работе с дополнением до 2 пустое пространство слева от числа заполняется нулями для положительных чисел и единицами для отрицательных чисел. Перенос всегда добавляется и должен иметь значение 1 или 0.

Ваше здоровье

Дополнение до 2 - это, по сути, способ придумать аддитивную инверсию двоичного числа. Спросите себя: если число в двоичной форме (присутствует в ячейке памяти фиксированной длины), какой битовый шаблон при добавлении к исходному числу (в ячейке памяти фиксированной длины) приведет к тому, что результат будет нулем? (в той же ячейке памяти фиксированной длины). Если бы мы могли придумать этот битовый шаблон, то этот битовый шаблон был бы представлением -ve (аддитивно инверсным) исходного числа; поскольку по определению добавление числа к его аддитивному обратному всегда приводит к нулю. Пример: возьмите 5, который представляет собой 101, присутствующий внутри одного 8-битного байта. Теперь задача состоит в том, чтобы придумать битовый шаблон, который при добавлении к заданному битовому шаблону (00000101) приведет к появлению всех нулей в ячейке памяти, которая используется для хранения этих 5, то есть всех 8 битов байт должен быть нулевым. Для этого начните с самого правого бита, равного 101, и для каждого отдельного бита снова задайте тот же вопрос: какой бит мне добавить к текущему биту, чтобы результат стал нулевым? продолжать делать это с учетом обычного переноса. После того, как мы закончили с тремя крайними правыми местами (цифрами, которые определяют исходное число без учета начальных нулей), последний перенос идет в битовой последовательности аддитивной инверсии. Кроме того, поскольку мы храним исходное число в одном 8-битном байте, все остальные ведущие биты в аддитивном инверсии также должны быть 1, так что (и это важно), когда компьютер добавляет число (представленное с использованием 8-битного шаблона ) и его аддитивная инверсия, использующая этот тип хранения (байт), результатом в этом байте будут все нули.

 1 1 1
 ----------
   1 0 1
 1 0 1 1 ---> additive inverse
  ---------
   0 0 0

Мне понравился ответ Лавинио, но сдвиг бит добавляет некоторую сложность. Часто есть выбор: перемещать биты, соблюдая знаковый бит или не уважая знаковый бит. Это выбор между обработкой чисел как со знаком (от -8 до 7 для полубайта, от -128 до 127 для байтов) или беззнаковых чисел полного диапазона (от 0 до 15 для полубайтов, от 0 до 255 для байтов).

Это умное средство кодирования отрицательных целых чисел таким образом, что примерно половина комбинации битов типа данных зарезервирована для отрицательных целых чисел, а добавление большинства отрицательных целых чисел с соответствующими им положительными целыми числами приводит к переполнению переноса. что оставляет результат равным двоичному нулю.

Итак, в дополнении 2, если один равен 0x0001, то -1 будет 0x1111, потому что это приведет к объединенной сумме 0x0000 (с переполнением 1).

Дополнения 2: когда мы добавляем дополнительную единицу с дополнениями 1 к числу, мы получим дополнения до 2. Например: 100101 это дополнение 1 - это 011010, а дополнение 2 - 011010 + 1 = 011011 (добавление единицы с дополнением до 1) Для получения дополнительной информации эта статья поясняет это графически.

Проще говоря, 2's Complement - это способ сохранить отрицательное число в памяти компьютера. В то время как положительные числа хранятся как обычные двоичные числа.

Рассмотрим этот пример,

Компьютер использует Binary Number System для представления любого числа.

x = 5;

Это представлено как 0101.

x = -5;

Когда компьютер использует знак -, он вычисляет его дополнение до 2 и сохраняет его. i.e 5 = 0101, а его дополнение до 2 равно 1011.

Важные правила, которые компьютер использует для обработки чисел:

1. Если первый бит - 1, тогда это должно быть negative число.
2. Если все биты, кроме первого, равны 0, тогда это положительное число, потому что в системе счисления нет -0 (1000 is not -0 вместо этого положительное 8)
3. Если все биты равны 0, то это 0.
4. Иначе это positive number.

Дополнение до двух - это один из способов выражения отрицательного числа, и большинство контроллеров и процессоров хранят отрицательное число в форме дополнения до двух.

Дополнение до двух в основном используется по следующим причинам:

1. Чтобы избежать множественных представлений 0
2. Чтобы не отслеживать бит переноса (как в дополнении) в случае переполнения.
3. Выполнять простые операции, такие как сложение и вычитание, становится легко.

ССЫЛКА: https://www.cs.cornell.edu/~tomf/notes/cps104/twoscomp.html

Я инвертирую все биты и добавляю 1. Программно:

  // in C++11
  int _powers[] = {
      1,
      2,
      4,
      8,
      16,
      32,
      64,
      128
  };

  int value=3;
  int n_bits=4;
  int twos_complement = (value ^ ( _powers[n_bits]-1)) + 1;

Дополнение до 2 данного числа - это номер. получено добавлением 1 с дополнением до 1 числа. Предположим, у нас есть двоичный номер: 10111001101 Его дополнение до 1: 01000110010 И это дополнение до 2 будет: 01000110011

Поразрядное дополнение числа означает перевернуть все биты в нем. Чтобы дополнить его двумя, мы переворачиваем все биты и добавляем единицу.

Используя представление дополнения 2 для целых чисел со знаком, мы применяем операцию дополнения 2 для преобразования положительного числа в его отрицательный эквивалент и наоборот. Таким образом, используя полубайты для примера, 0001 (1) становится 1111 (-1) и, снова применяя операцию, возвращается к 0001.

Поведение операции на нуле выгодно, так как дает единственное представление для нуля без специальной обработки положительных и отрицательных нулей. 0000 дополняет 1111, который при добавлении 1. переполняется до 0000, давая нам один ноль, а не положительный и отрицательный.

Ключевым преимуществом этого представления является то, что стандартные схемы сложения для беззнаковых целых чисел дают правильные результаты при применении к ним. Например, добавляя 1 и -1 в полубайтах: 0001 + 1111, биты выходят за пределы регистра, оставляя 0000.

Для мягкого вступления замечательный компьютерщик подготовил видео по этой теме.

Возникает вопрос: «Что такое« Дополнение 2 »?» Простой ответ для тех, кто хочет понять это теоретически (и я пытаюсь дополнить другие более практичные ответы): дополнение 2 - это представление отрицательных целых чисел в двойной системе, которое не требует дополнительных символов, таких как + и -.

Вы также можете использовать онлайн-калькулятор для вычисления двоичного представления десятичного числа в дополнительном двоичном коде: http://www.convertforfree.com/twos-complement-calculator/

Самый простой ответ:

1111 + 1 = (1) 0000. Итак, 1111 должно быть -1. Тогда -1 + 1 = 0.

Мне идеально все это понять.